2008年11月21日星期五
すうがく
(转载于网络某处)
数学研究在古代只是在少数地方，由少数学者所从事的活动. 到了17、18世纪，由于数学教育的发展，数学知识的传播，数学迅速地在英国、法国、德国、意大利、俄国等国发展起来．其中最突出的有一个是法国数学学派，他们中的大多数来自巴黎理工科大学，另一个是以哥廷根大学为中心的德国数学学派．发展成为一个广阔的分析领域，并得到广泛的应用．接着活跃在数学界的是法国的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒让德．拉格朗日在方程论方面丰富了代数学的内容，在数论、连分数、微积分、微分方程、变分法等方面都写了大量的论文．傅立叶和柏松是 19世纪初叶的法国两颗数学明星，他们都从事应用数学的研究，并且在巴黎高等理工科大学教．1822年，傅立叶发表了著名的《热的解析理论》，这是数学理论应用于物理的典范，它开辟了近代数学的一个巨大分支——傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换，这些统称为傅立叶分析．在数学分析的发展史上，极限理论的建立具有划时代的意义，这一工作是由大数学家柯西、外尔斯特拉斯等人完成的．柯西出生于巴黎，1805年入巴黎高等理工科大学，并获得拉格朗日和拉普拉斯的赏识．柯西兴趣广泛，他的数学专著、讲义和论文据统计超过七百种，有26卷之多，在数量上仅次于欧拉．柯西是数学分析方面集大成的人物，数学分析方面主要著作有三本：《分析教程》、《无穷小计算概要》和《微分学讲义》．这几部著作具有划时代的价值，给出分析学一系列基本概念的严格定义，奠定了以极限论为基础的现代数学分析体系．
19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大师．庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献的最后一个人．他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学的研究方面部具有开创性的工作，并产生深远的影响．到本世纪初，法国数学渐渐集中在函数论方面，出现了波莱尔、勒贝格、毕卡等大数学家．由于第一次世界大战法国把年青的数学家和大学生都送到前线大批死亡，这个函数论的王国后继乏人，加上过份狭窄的研究领域，法国数学失去了世界数学中心的地位.
对20世纪数学的开创和发展起着核心作用的是德国哥廷根数学学派．20世纪哥廷根学派的全盛时期是从克莱因、希尔伯特开始的．克莱因以其著名的《埃尔朗根纲领》闻名于世，他从变换群的观点出发，把当时已有的各种几何学加以分类，他是哥廷根学派的组织者和领导者．希尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一连串无与伦比的数学成就，使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的领袖人物．1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表示他将领导新世纪的数学新潮流．从1900年到1933年，德国的哥廷根大学成为世界数学的中心．在哥廷根，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯•诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；女数学家诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路．以上极不完全的列举，已足以证明，德国的哥廷根确是国际数学中心.
1933年希特勒法西斯上台，把哥廷根学派全毁了．疯狂的排犹，使得哥廷根的主要数学家移居美国．这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了．
爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)
弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)
冯•诺依曼(1903～1957，本世纪杰出数学家之一)
柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)
哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)
诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)
费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)
阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)
费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)
外尔(1885～1955，本世纪杰出的数学家之一)
德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)
此外还有波利亚、舍荀(Szegò)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆
(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)．
外尔和冯•诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，诺特则在普林斯顿附近的MaxBown女子学院，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所．从此以后，美国数学居世界领先地位，普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心，一直至今．
俄罗斯是当今的又一数学大国．俄国的数学有良好的传统，早在18世纪，欧拉这位大数学家在彼得堡工作过31年，19世纪俄国出现了创立非欧几何蜚声全球的数学家罗巴切夫斯基．19世纪后半叶，切比雪夫培养了马尔柯夫、李雅普诺夫等优秀数学家，形成了以切比雪夫为首的彼得堡学派．进入20世纪以后，莫斯科学派发展迅速，在函数论方面作出巨大世界贡献，自20年代以来，莫斯科的函数论学派取代法国跃居首位．该学派的创始人是叶戈洛夫和鲁金．莫斯科学派人才济济，亚历山大洛夫是本世纪拓扑学奠基人之一；柯尔莫戈洛夫是一位数学天才人物，他将概率论公理化尤为人所称道；邦德里雅金是著名的拓扑学专家等．康脱洛维奇也是苏联著名数学家．他最出名的工作是在研究国民经济计划上提出的线性规划解法，目前已成为经济数学最基本的课题，具有强大的生命力．为此获得1975年诺贝尔经济奖．60年代以后，苏联数学更有重大进展，阿诺德 (Arnold)、诺维科夫(Novikov)、曼宁(Mannin)等年轻人在拓扑学上有重要成就．现在的莫斯科也被人们视为世界的数学中心之一.
在本世纪20年代末30年代初，法国的一批年青的数学家迪多内 (Dieudonnē，1906～)，威伊(A．Weil，1906～)，亨利•嘉当(H．Cartan，1904～)，薛华荔 (C．Chxxxxley，1909～1984)，组成了名为布尔巴基(Bourbaki)的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义，研究整个数学，编著《数学原本》，在二次大战后风靡一时，对20世纪数学有深远影响．“布尔巴基”现在还活着，但是已经老了，更年轻的法国数学家在开拓新领域．现在巴黎又恢复了西欧数学中心的地位.
值得一提的是波兰数学．这个曾被瓜分的小国，在1920年开始数学起飞，他们集中在一个相对狭窄的领域里：集合论与泛函分析，形成了自己的特色，出现了一批杰出的数学家如巴拿赫(Banach，1892～1945)，夕尔宾斯基 (Sierpinski，1882～1969)等人．他们的学生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人后来移居美国等地，在世界数坛著称.
日本，在1898年派遣高木贞治到德国哥廷根随希尔伯特学习代数数论．1920年他创立实域论，使日本数学挤身于先进之列．第二次大战后，小平邦彦(Kunihiko Kodaira)、広中平祐(Heisuke Hironaka)等人又获世界最高数学奖——菲尔兹奖，与世界水平的差距不断缩小.
数学大国美国和俄罗斯继续领先，西欧紧随其后，日本正在迎头赶上.中国不知在哪？
附录：世界第一数学强校——莫斯科大学
编者按：著名的吉米多维奇数学分析习题集1~6册、著名的莫斯科大学数学入学考试题，90年代读大学的朋友对这个太熟悉了.苏联的科技实力是非常强大的，俄罗斯的再次崛起不过是个时间问题而已.
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世界第一数学强校的背后纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量.百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金(Н.Н.Лузин)，亚历山德罗夫(П.С.Александров)，柯尔莫戈罗夫(А.Н.Колмогоров)，盖尔范德(И.М.Гельфанд)，沙法列维奇(И.Р.Шафаревич)，阿洛尔德(В.И.Арнольд)等都是响当当的数学大师.而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学(МосковскийгосударственныйуниверситетимениМ.В.Ломоносова).
莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学.在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校.对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为，中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响.我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种莫斯科大学编写的习题集.
如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》(Б.П.Демидович《Сборникзадачиупражненийпоматематическомуанализу》)、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》(С.В.Бахвалов《Сборникзадачпоаналитическойгеометрии》)、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》(И.В.Проскурярков《Сборникзадачполинейнойалгебре》)、法杰耶夫的《高等代数习题集》(Д.К.Фаддеев《Сборникзадачповысшейалгебре》)、菲力波夫的《常微分方程习题集》(А.Ф.Филиппов《Сборникзадачподифференциальнымууравнениям》)、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》(Л.И.Волковыский 《Сборникзадачпотеориифункцийкомплексногопеременного》)、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》(В.С.Владимиров《Сборникзадачпоуравнениямматематическойфизики》)、费坚科的《微分几何习题集》(А.С.Феденко)《Сборникзадачподифференциальнойгеометрии》)、克里洛夫的《泛函分析 ——理论•习题•解答》(А.А.Кириллова《Теоремыизадачифункциональногоанализ》)、捷利亚科夫的《实变函数习题集》(С.А.Теляковский 《Сборникзадачпотеориифункцийдействительногопеременного》).
说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭.那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运我家里有亲戚，曾于80年代公派到莫斯科大学数学力学部读副博士(相当于美国的博士)，又有熟人正在莫斯科大学数学力学部读副博士.从中了解到莫斯科大学数学学科的具体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起，每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学部和计算数学部(俄罗斯的大学没有我们这样的数学系或者数学学院，如莫斯科大学，有18 个部和2个学院，和数学有关的是数学力学部和计算数学与自动控制部，数学力学部下设数学系和力学系，其中的力学系和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与自动控制部包括计算数学和自动控制2个系，计算数学系和我国的信息与计算科学专业+计算机科学专业相当，自动控制系接近于我国的自动化，但是数学学的很多，前2年是和数学力学部及计算数学系一起上课，第3年和计算数学系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才单独上专业课)都要举办数学夏令营，凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的，由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告.莫斯科大学的数学夏令营是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫和维洛格拉托夫，吉洪洛夫(苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫经常在夏令营里教人玩计算机)几乎每年都参加夏令营的活动.
数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路.
在柯尔莫哥罗夫的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学，由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学.其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫科学中学，这所学校从全国招收有数学，物理方面天赋的学生，完全免费.对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但这点直到现在都没变.事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的，到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了科学院院士.
中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻，其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情，象50-60年代的北京大学，科技大学，清华大学都有这样的学生，南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学，不像现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的.反观莫大，那可是非下硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样.
莫大敢如此硬气，其实是*其前校长彼得罗夫斯基(我们对这位大数学家不会陌生吧！)利用担任最高苏维埃主席团副主席(其实就是苏联的副总统)以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关，苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人(其它大学，高级官员的子女同等条件优先)，必须是择优录取.莫大的生源好，和苏联的整体基础教育水平高也有关，苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫和吉洪洛夫，庞特里亚金写的，而且苏联已经把微积分和线性代数，欧氏空间解析几何放到中学教了.大学的数学分析，代数，几何就可以在更高的观点上看问题了(其实和美国的高等微积分，初等微积分的方法相似).
有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风.莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格(不过政治和体育除外，政治是因为学校在这方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的)，留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方式.主课如数学分析或者现代几何学，物理学，理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次，考试一般的方法如下：
考场里有2-3个考官考一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签(签上就是考题)，考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等候进，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答.据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩.
不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫就是从历史部转到数学力学部，这是尽人皆知的.
莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课(其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课)，也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析，解析几何，线性代数与几何(其实讲的是微分几何和射影几何)，代数学，微分方程，复分析，大三的微分几何与拓扑，大四的现代几何学(整体微分几何)都是以讲讨论习题和讲课内容为主，为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料，像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行(事实上在打基础的阶段不多练习是不行的).总的来说，讨论课的数量大于讲授，如1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节(不算选修课).
而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫，辛钦都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇，目前也在给大一学生讲《数学分析》(不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来).
想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文.入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组(莫大数学系有14个教研室，如分析学，几何与拓扑学，代数学，数论等，每个教研室下设教研组，教研组即是科研单位又是教学单位)的活动(莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班，目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的.答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试.
对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数(内容大概包括交换代数和李群李代数)等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法(大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学)等课程.而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择.必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面尤其出色.
要成为一个合格的数学家，光*短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自全苏各个科研机构的学者.经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能参加答辩.答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位.至于数学科学博士，则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行.
如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授(包括助教授)当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！
说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫 (А.Н.Колмогоров),应该说柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学的数学跻身于世界一流是在鲁金(Н.Н.Лузин)和彼得罗夫斯基(И.Г.Петровский)的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)担任数学力学部主任的时期.2，柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)是莫斯科数学学派(Московскийматематическийшкола)中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德(И.М.Гельфанд)，阿诺尔德(В.И.Арнольд)等著名数学家都是他的学生.3，柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基(И.Г.Петровский)去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系.对于数学家柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)，大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)，大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)的文章中摘抄下来的.柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力.2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力.3，一步一步进行逻辑推理的能力.
但是柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的.柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，在大学里好的教师要做到以下几点：
1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力.
2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动.
3，善于因材施教.
柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)以为以上三条都是有价值的，特别是 3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科(他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数)当成日常工具一样应用自如.2，要重视实际问题.
柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题.
其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一.莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目.比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教(莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习)，据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的.
数学研究在古代只是在少数地方，由少数学者所从事的活动. 到了17、18世纪，由于数学教育的发展，数学知识的传播，数学迅速地在英国、法国、德国、意大利、俄国等国发展起来．其中最突出的有一个是法国数学学派，他们中的大多数来自巴黎理工科大学，另一个是以哥廷根大学为中心的德国数学学派．发展成为一个广阔的分析领域，并得到广泛的应用．接着活跃在数学界的是法国的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒让德．拉格朗日在方程论方面丰富了代数学的内容，在数论、连分数、微积分、微分方程、变分法等方面都写了大量的论文．傅立叶和柏松是 19世纪初叶的法国两颗数学明星，他们都从事应用数学的研究，并且在巴黎高等理工科大学教．1822年，傅立叶发表了著名的《热的解析理论》，这是数学理论应用于物理的典范，它开辟了近代数学的一个巨大分支——傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换，这些统称为傅立叶分析．在数学分析的发展史上，极限理论的建立具有划时代的意义，这一工作是由大数学家柯西、外尔斯特拉斯等人完成的．柯西出生于巴黎，1805年入巴黎高等理工科大学，并获得拉格朗日和拉普拉斯的赏识．柯西兴趣广泛，他的数学专著、讲义和论文据统计超过七百种，有26卷之多，在数量上仅次于欧拉．柯西是数学分析方面集大成的人物，数学分析方面主要著作有三本：《分析教程》、《无穷小计算概要》和《微分学讲义》．这几部著作具有划时代的价值，给出分析学一系列基本概念的严格定义，奠定了以极限论为基础的现代数学分析体系．
19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大师．庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献的最后一个人．他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学的研究方面部具有开创性的工作，并产生深远的影响．到本世纪初，法国数学渐渐集中在函数论方面，出现了波莱尔、勒贝格、毕卡等大数学家．由于第一次世界大战法国把年青的数学家和大学生都送到前线大批死亡，这个函数论的王国后继乏人，加上过份狭窄的研究领域，法国数学失去了世界数学中心的地位.
对20世纪数学的开创和发展起着核心作用的是德国哥廷根数学学派．20世纪哥廷根学派的全盛时期是从克莱因、希尔伯特开始的．克莱因以其著名的《埃尔朗根纲领》闻名于世，他从变换群的观点出发，把当时已有的各种几何学加以分类，他是哥廷根学派的组织者和领导者．希尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一连串无与伦比的数学成就，使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的领袖人物．1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表示他将领导新世纪的数学新潮流．从1900年到1933年，德国的哥廷根大学成为世界数学的中心．在哥廷根，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯•诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；女数学家诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路．以上极不完全的列举，已足以证明，德国的哥廷根确是国际数学中心.
1933年希特勒法西斯上台，把哥廷根学派全毁了．疯狂的排犹，使得哥廷根的主要数学家移居美国．这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了．
爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)
弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)
冯•诺依曼(1903～1957，本世纪杰出数学家之一)
柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)
哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)
诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)
费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)
阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)
费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)
外尔(1885～1955，本世纪杰出的数学家之一)
德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)
此外还有波利亚、舍荀(Szegò)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆
(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)．
外尔和冯•诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，诺特则在普林斯顿附近的MaxBown女子学院，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所．从此以后，美国数学居世界领先地位，普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心，一直至今．
俄罗斯是当今的又一数学大国．俄国的数学有良好的传统，早在18世纪，欧拉这位大数学家在彼得堡工作过31年，19世纪俄国出现了创立非欧几何蜚声全球的数学家罗巴切夫斯基．19世纪后半叶，切比雪夫培养了马尔柯夫、李雅普诺夫等优秀数学家，形成了以切比雪夫为首的彼得堡学派．进入20世纪以后，莫斯科学派发展迅速，在函数论方面作出巨大世界贡献，自20年代以来，莫斯科的函数论学派取代法国跃居首位．该学派的创始人是叶戈洛夫和鲁金．莫斯科学派人才济济，亚历山大洛夫是本世纪拓扑学奠基人之一；柯尔莫戈洛夫是一位数学天才人物，他将概率论公理化尤为人所称道；邦德里雅金是著名的拓扑学专家等．康脱洛维奇也是苏联著名数学家．他最出名的工作是在研究国民经济计划上提出的线性规划解法，目前已成为经济数学最基本的课题，具有强大的生命力．为此获得1975年诺贝尔经济奖．60年代以后，苏联数学更有重大进展，阿诺德 (Arnold)、诺维科夫(Novikov)、曼宁(Mannin)等年轻人在拓扑学上有重要成就．现在的莫斯科也被人们视为世界的数学中心之一.
在本世纪20年代末30年代初，法国的一批年青的数学家迪多内 (Dieudonnē，1906～)，威伊(A．Weil，1906～)，亨利•嘉当(H．Cartan，1904～)，薛华荔 (C．Chxxxxley，1909～1984)，组成了名为布尔巴基(Bourbaki)的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义，研究整个数学，编著《数学原本》，在二次大战后风靡一时，对20世纪数学有深远影响．“布尔巴基”现在还活着，但是已经老了，更年轻的法国数学家在开拓新领域．现在巴黎又恢复了西欧数学中心的地位.
值得一提的是波兰数学．这个曾被瓜分的小国，在1920年开始数学起飞，他们集中在一个相对狭窄的领域里：集合论与泛函分析，形成了自己的特色，出现了一批杰出的数学家如巴拿赫(Banach，1892～1945)，夕尔宾斯基 (Sierpinski，1882～1969)等人．他们的学生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人后来移居美国等地，在世界数坛著称.
日本，在1898年派遣高木贞治到德国哥廷根随希尔伯特学习代数数论．1920年他创立实域论，使日本数学挤身于先进之列．第二次大战后，小平邦彦(Kunihiko Kodaira)、広中平祐(Heisuke Hironaka)等人又获世界最高数学奖——菲尔兹奖，与世界水平的差距不断缩小.
数学大国美国和俄罗斯继续领先，西欧紧随其后，日本正在迎头赶上.中国不知在哪？
附录：世界第一数学强校——莫斯科大学
编者按：著名的吉米多维奇数学分析习题集1~6册、著名的莫斯科大学数学入学考试题，90年代读大学的朋友对这个太熟悉了.苏联的科技实力是非常强大的，俄罗斯的再次崛起不过是个时间问题而已.
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世界第一数学强校的背后纵观整个20世纪的数学史，苏俄数学无疑是一支令人瞩目的力量.百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金(Н.Н.Лузин)，亚历山德罗夫(П.С.Александров)，柯尔莫戈罗夫(А.Н.Колмогоров)，盖尔范德(И.М.Гельфанд)，沙法列维奇(И.Р.Шафаревич)，阿洛尔德(В.И.Арнольд)等都是响当当的数学大师.而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学(МосковскийгосударственныйуниверситетимениМ.В.Ломоносова).
莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学.在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校.对于莫斯科大学，我们是既熟悉又陌生，说熟悉是因为，中国大学的数学系都多少受了莫斯科大学的影响.我们曾经长期学习莫斯科大学的数学教材，做莫斯科大学的数学习题集，直到现在许多数学专业的学生还在做各种莫斯科大学编写的习题集.
如在下我，就曾经做过吉米多维奇的《数学分析习题集》(Б.П.Демидович《Сборникзадачиупражненийпоматематическомуанализу》)、巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》(С.В.Бахвалов《Сборникзадачпоаналитическойгеометрии》)、普罗斯库列科夫的《线性代数习题集》(И.В.Проскурярков《Сборникзадачполинейнойалгебре》)、法杰耶夫的《高等代数习题集》(Д.К.Фаддеев《Сборникзадачповысшейалгебре》)、菲力波夫的《常微分方程习题集》(А.Ф.Филиппов《Сборникзадачподифференциальнымууравнениям》)、沃尔维科斯基的《复变函数习题集》(Л.И.Волковыский 《Сборникзадачпотеориифункцийкомплексногопеременного》)、符拉基米罗夫的《数学物理方程习题集》(В.С.Владимиров《Сборникзадачпоуравнениямматематическойфизики》)、费坚科的《微分几何习题集》(А.С.Феденко)《Сборникзадачподифференциальнойгеометрии》)、克里洛夫的《泛函分析 ——理论•习题•解答》(А.А.Кириллова《Теоремыизадачифункциональногоанализ》)、捷利亚科夫的《实变函数习题集》(С.А.Теляковский 《Сборникзадачпотеориифункцийдействительногопеременного》).
说陌生的因为，莫斯科大学有很多方面和中国大学大相径庭.那么莫斯科大学成为世界数学第一强校奥秘何在？我很幸运我家里有亲戚，曾于80年代公派到莫斯科大学数学力学部读副博士(相当于美国的博士)，又有熟人正在莫斯科大学数学力学部读副博士.从中了解到莫斯科大学数学学科的具体情况，特地把这些都发在BBS上，让大家看看，世界一流的数学家是如何一个一个的从莫斯科大学走出的，莫斯科大学则是数学要从娃娃抓起，每年暑假，俄罗斯各个大学的数学力学部和计算数学部(俄罗斯的大学没有我们这样的数学系或者数学学院，如莫斯科大学，有18 个部和2个学院，和数学有关的是数学力学部和计算数学与自动控制部，数学力学部下设数学系和力学系，其中的力学系和我国的力学系大不相同，倒接近于应用数学系，计算数学与自动控制部包括计算数学和自动控制2个系，计算数学系和我国的信息与计算科学专业+计算机科学专业相当，自动控制系接近于我国的自动化，但是数学学的很多，前2年是和数学力学部及计算数学系一起上课，第3年和计算数学系一起学计算数学方面的课程，到大四大五才单独上专业课)都要举办数学夏令营，凡是喜欢数学的中小学生都可以报名参加，完全是自愿的，由各个大学的数学教授给学生讲课做数学方面的讲座和报告.莫斯科大学的数学夏令营是最受欢迎的，每年报名的人都是人满为患，大家都希望能一睹数学大师们的风采，听数学大师讲课，做报告，特别是苏联著名的数学家柯尔莫哥罗夫和维洛格拉托夫，吉洪洛夫(苏联有了微型电子计算机后，吉洪洛夫经常在夏令营里教人玩计算机)几乎每年都参加夏令营的活动.
数学夏令营和我国的奥数班不同，他的目的不是让学生参加什么竞赛，拿什么奖，而是培养学生对数学的兴趣，发现有数学天赋的学生，使他们能通过和数学家的接触，让他们了解数学，并最终走上数学家的道路.
在柯尔莫哥罗夫的提议下，从70年代开始，苏联的各个名牌大学大多举办了科学中学，从夏令营中发现的有科学方面天赋的学生都能报名进入科学中学，由大学教授直接授课，他们毕业后都能进入各个名牌大学.其中最著名的当属莫斯科大学的柯尔莫哥罗夫科学中学，这所学校从全国招收有数学，物理方面天赋的学生，完全免费.对家境贫寒的学生还发给补助，尽管莫斯科大学现在经济上困难重重，但这点直到现在都没变.事实上科学中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的，到80年代末，90年代初，已经有几个当年的柯尔莫哥罗夫科学中学的学生成了科学院院士.
中国的大学，近年来常爆出招生中走后门的丑闻，其实以前就有高干子弟，成绩不好，居然能进名牌大学的事情，象50-60年代的北京大学，科技大学，清华大学都有这样的学生，南京大学当年被院系调整搞得乱七八糟，从当家老大变成二流重点大学，不像现在，大概没那个中央领导的子弟看的上，估计这样的学生是没有的.反观莫大，那可是非下硬功夫进不去的，就算你是苏共总书记的儿子也一样.
莫大敢如此硬气，其实是*其前校长彼得罗夫斯基(我们对这位大数学家不会陌生吧！)利用担任最高苏维埃主席团副主席(其实就是苏联的副总统)以及和苏共的各个高级官员的良好关系争来的尚方宝剑有关，苏联有明确规定，包括莫大在内的几个名牌大学招生只认水平不认人(其它大学，高级官员的子女同等条件优先)，必须是择优录取.莫大的生源好，和苏联的整体基础教育水平高也有关，苏联有一点值得中国学习，苏联的中小学的教学大纲和教材都是请一些有水平的科学家编写的，像数学就是柯尔莫哥罗夫和吉洪洛夫，庞特里亚金写的，而且苏联已经把微积分和线性代数，欧氏空间解析几何放到中学教了.大学的数学分析，代数，几何就可以在更高的观点上看问题了(其实和美国的高等微积分，初等微积分的方法相似).
有一流的生源，不一定能培养出一流的数学家，还必须要有严谨的学风.莫大的规定相当的严格，必修课，一门不及格(不过政治和体育除外，政治是因为学校在这方面睁一只眼闭一只眼，纯粹是给上面看的)，留级，两门不及格，开除，而且考试纪律很严，作弊简直是比登天还难！莫大的考试方法非常特殊，完全用口试的方式.主课如数学分析或者现代几何学，物理学，理论力学之类，一个学期要考好及次，像数学分析，要考7-8次，考试一般的方法如下：
考场里有2-3个考官考一个学生，第一个学生考试以前，第二个学生先抽签(签上就是考题)，考试时间一般是30-45分钟，第一个考试的时候，第二个在旁边准备，其他人在门外等候进，考生要当场分析问题给考官听后，再做解答.据称难度远大于笔试，感觉像论文答辩.
不过莫大有一点是挺自由的，就是转专业，这一般都能成功，像柯尔莫戈罗夫就是从历史部转到数学力学部，这是尽人皆知的.
莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课(其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的情况下，应当按自己的理解讲课)，也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材，其实就是没有教材，只有参考书！而且莫大的课程都有相应的讨论课，每门课的讨论课和讲课的比例至少是1：1，象外语课就完全是讨论课了！讨论课一般是一个助教带上一组学生，组织讨论班，像一些基础课的讨论班比如大一，大二的数学分析，解析几何，线性代数与几何(其实讲的是微分几何和射影几何)，代数学，微分方程，复分析，大三的微分几何与拓扑，大四的现代几何学(整体微分几何)都是以讲讨论习题和讲课内容为主，为了让学生多做题，做好题，所以教师要准备有足够的高质量的习题资料，像前面说的各种各样的习题集，就是把其中的一部分题目拿出来出版发行(事实上在打基础的阶段不多练习是不行的).总的来说，讨论课的数量大于讲授，如1987年大纲，大一第一学期，每周讲课是13节，讨论是24节(不算选修课).
而且莫大有个好传统就是基础课都是由名教授甚至院士来讲，柯尔莫戈罗夫，辛钦都曾经给大一学生上过《数学分析》这样的基础课，现在的莫大校长萨多夫尼奇，目前也在给大一学生讲《数学分析》(不过校长事情太多，不太可能一个人把课给上下来).
想培养一流数学家，就一定要重视科研训练，包括参加各种学术讨论班和写论文，莫大的学生如果在入学以前参加过数学夏令营，那他在入学以前已经有一定的科研训练，因为，在夏令营就要组织写小论文.入学以后，学校也鼓励学生写论文，到大三下学期学生要参加至少一个学术讨论班，以决定大四大五是参加哪个教研组(莫大数学系有14个教研室，如分析学，几何与拓扑学，代数学，数论等，每个教研室下设教研组，教研组即是科研单位又是教学单位)的活动(莫大数学系，到了大四大五，学生每学期要参加一个学术讨论班，目的是写论文，莫大要求本科毕业生至少要有3篇论文，其中2篇是学年论文，一篇作为毕业论文，毕业论文要提前半年发表在专门发毕业论文的杂志上，半年内无人提出异议方可进行论文答辩，而且参加答辩的人是从全国随机抽取的.答辩时还要考察一下学生的专业知识，这种答辩又称为国家考试.
对于本科生，需要让他们对数学和相邻学科有个全面的了解，莫大在这点做的很不错，数学系的学生不仅要学习现代几何学，高等代数(内容大概包括交换代数和李群李代数)等现代数学，也要学习理论力学，连续介质力学，物理学中的数学方法(大概相当于我国物理专业的电动力学，热力学与统计物理，量子力学)等课程.而且还有一些各种各样的选修课，供学生选择.必修课中的专业课里不仅有纯数学课程也有变分法与最优控制这样的应用数学课程，所以莫大的学生在应用数学方面尤其出色.
要成为一个合格的数学家，光*短短5年的本科是远远不够，还要经过3-4年的副博士阶段的学习和无固定期限的做博士研究，应该说莫大的研究生院在数学方面绝对是天下第一的研究生院，莫大研究生院在数学方面有门类齐全的各种讨论班，讨论班的组织者都是世界闻名的数学家，参加讨论班的不仅有莫大的学者，还有来自全苏各个科研机构的学者.经过5年的必修课和专门化课，选修课的学习，凡是到莫大研究生院来的学生都有很扎实的专业知识，所以莫大的研究生是不上课的，一来就是上讨论班，进行科学研究，同样研究生想毕业也要拿出毕业论文和学年论文，毕业论文要拿到杂志上发表半年以后，有15名来自不同单位的博士签名，才能参加答辩.答辩的规矩比本科生更严格，只有通过毕业答辩和学年论文的答辩才能拿到数学科学副博士学位.至于数学科学博士，则是给有一定成就的科学家的学位，要拿博士至少要有一本合格的专著才行.
如果谁拿到莫大的数学科学博士的学位，那么谁就可以到大多数世界一流大学混个教授(包括助教授)当！但是这个过程是十分难完成的，俄罗斯有种说法，说院士为什么比一般人长寿，是因为院士居然可以完成从本科到博士这样折磨人的过程，所以身体一定好的很！
说到莫斯科大学的数学,有一个人是不能不提的,那就是数学大师柯尔莫哥罗夫 (А.Н.Колмогоров),应该说柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)不仅是数学家,而且是教育家,但是这并不是我在这里要专门介绍他的原因,我专门介绍他是基于以下几个原因：1，如果说使莫斯科大学的数学跻身于世界一流是在鲁金(Н.Н.Лузин)和彼得罗夫斯基(И.Г.Петровский)的带领之下，那么使莫斯科大学真正成为世界第一数学强校则是在柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)担任数学力学部主任的时期.2，柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)是莫斯科数学学派(Московскийматематическийшкола)中承前启后的一代中的领军人物，特别是如盖尔范德(И.М.Гельфанд)，阿诺尔德(В.И.Арнольд)等著名数学家都是他的学生.3，柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)虽然没当过莫大校长但是彼得罗夫斯基(И.Г.Петровский)去世后，他在莫大基本上就是太上校长，莫大的一些改革措施都和他多少有些关系.对于数学家柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)，大家一定很熟悉，但是对于教育家柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)，大家就不大清楚了！下面是我从沃尔夫奖得主，日本著名数学家伊藤清写的一篇纪念柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)的文章中摘抄下来的.柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉的数学特别难，问题多半出在教师身上，当然的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力.2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力.3，一步一步进行逻辑推理的能力.
但是柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)也指出，仅有这些能力，而不对研究的题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的.柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，在大学里好的教师要做到以下几点：
1，讲课高明，特别是能用其他科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力.
2，以清楚的解释和广博的知识来吸引学生运动.
3，善于因材施教.
柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)以为以上三条都是有价值的，特别是 3，这是一个好教师必须做到的，那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)以为除了通常的要求外，有两点要特别强调：1，要把泛函分析这样的重要学科(他说的重要学科恐怕还包括拓扑学和抽象代数)当成日常工具一样应用自如.2，要重视实际问题.
柯尔莫哥罗夫(А.Н.Колмогоров)认为，学生刚开始搞研究时，首先必须让学生树立“我能够搞出东西”的自信心，所以教师在帮助学生选课题时，不能光考虑问题的重要性，关键是要看问题是否在学生的能力范围之内，而且需要学生做出最大的努力才能解决问题.
其实科研训练应当是越早越好，在学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功的秘诀之一.莫斯科大学讨论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目.比如，我的那个亲戚，在莫大读书时担任数学分析课的助教(莫大学数学的学生毕业后大多数是到各个大学担任教师，所以莫大很重视学生的教学能力，一般，研究生都要作助教，本科生毕业前要进行大学数学的教学实习)，据他说，主讲教授每次布置的讨论课题目简直稀奇古怪，比如说有一次，是叫他让学生利用隐函数定理证明拓扑学中的Morse引理，还有一次，叫他给出有界变差函数的定义，然后证明什么全变差的可加性等等，一直到雅可比分解！基本上把我们国家的实变函数课中的有关问题都干掉了！总之他们经常叫学生证明一些后续课程中的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的.
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